Mathematisches Kolloquium

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gehaltene Vorträge

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Abstract:
Moderne rechnergestützte Modellierung industrieller Anwendungen führt typischerweise auf implizite Differentialgleichungen. Andere gebräuchliche Bezeichnungen sind differentiell-algebraische Gleichungen, kurz DAEs, bzw. Algebrodifferentialgleichungen. Ein wesentliches Merkmal bei diesen Gleichungen ist, daß sie Beschränkungen an die möglichen Zustände des Systems beinhalten. Die Problematik insbesondere bei der numerischer Behandlung liegt darin, daß ein Teil der Beschränkungen nicht explizit gegeben ist, sondern erst durch Umformen und insbesondere durch Ableiten der Gleichungen hergeleitet werden können. Dies führt dazu, dass man ein gegebenes Problem eventuell nicht wie gewohnt direkt diskretisieren kann, sondern neue Techniken zur numerischen Behandlung braucht.
Der Vortrag soll eine Einführung in eine mögliche theoretische Behandlung von differentiell-algebraischen Gleichungen geben, die gleichermaßen für die Entwicklung numerischer Verfahren dient. Im Vordergrund soll dabei ein möglichst allgemeiner Zugang stehen. Auf der Basis der theoretischen Ergebnisse werden verschiedene Diskretisierungsmethoden für Anfangs- und Randwertprobleme vorgestellt. Darüber hinaus werden notwendige Bedingungen für optimale Steuerungen und die damit verbundenen numerischen Aspekte diskutiert.

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Abstract:
Tverberg's 1966 theorem says that if you have enough points in d-space, then one can divide them in to r groups, whose convex hulls intersect. More precisely, (d+1)(r-1)+1 points are needed. This theorem has been reproved many times, with geometric, algebraic and topological methods. There are still many open problems connected with it. For example: How many partitions are there? Can the topological version also be proved if r is not a prime power?
We provide a new "rainbow" version of Tverberg's theorem. It constitutes a considerable (unexpected) strengthening of Tverberg's original theorem, but it also provides an optimal bound for the 1990 "colored Tverberg problem" (tight for the prime case, and asymptotically-optimal in the general case). Our first proof for this used equivariant obstruction theory, but in the lecture I will sketch a much simpler degree-theoretic argument, which was independently also provided by Vrecica and Zivaljevic.
(Joint work with Pavle V. Blagojevic and Benjamin Matschke.)

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Abstract:
Die Eigenschaften von Zufallspfaden, genauer, der so genannten Brown'schen Bewegung, hängen eng mit der Geometrie des Raumes zusammen, in dem sie sich bewegen. Typische Fragen sind z.B.:
- Kehrt ein Zufallspfad immer wieder mit positiver Wahrscheinlichkeit in ein gegebenes Gebiet zurück (Rekurrenz versus Transienz)?
- Geht ein Pfad mit positiver Wahrscheinlichkeit in endlicher Zeit nach Unendlich (Stochastische Vollständigkeit)?
Wir werden einige Ergebnisse hierzu diskutieren. Falls es die Zeit erlaubt, werden wir noch auf den Zusammenhang mit Diffusionsgleichungen (z.B. für die Wärmeausbreitung) eingehen. Diese können durch so genannte Pfadintegrale gelöst werden.

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geplante Vorträge für SS 2010:   29.04.; 06.05.; 20.05.; 10.06.; 01.07.2010

Rückblick: Vorträge vergangener Semester

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