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Thesen zur Dissertation

"Centre-by-metabelian Group Algebras"

Richard Rossmanith

1. In nichtabelschen Gruppen sowie in nichtkommutativen Algebren über einem Körper F lässt sich der "Abstand" zur Kommutativität mit Hilfe von Kommutatoren messen. Dazu definiert man in beiden Welten (Kategorie der Gruppen, Kategorie der F-Algebren) abgeschwächte Kommutativitätseigenschaften, wie (Lie-)Nilpotenz oder, noch schwächer, (Lie-)Auflösbarkeit.

2. Offenbar ist der Gruppenring FG einer Gruppe G genau dann kommutativ, wenn G abelsch ist. Hinsichtlich Auflösbarkeit und Nilpotenz besteht ebenfalls eine enge Verwandtschaft zwischen G und FG, aber eben keine Analogie mehr. Die Klassifikation der Lie-auflösbaren und der Lie-nilpotenten Gruppenalgebren durch Passi, Passman und Sehgal [6] beschreibt dies im Detail. Dabei stellt sich heraus, daß der Fall char(F)=0 (also z.B. F=Q, R, C) "langweilig" ist, da Lie-Auflösbarkeit hier bereits Kommutativität impliziert. Daher betrachten wir nur Körper von Primzahlcharakteristik p.

Ausgehend von diesem qualitativen Ergebnis sind quantitative Untersuchungen angestellt worden, etwa zur Berechnung oder Abschätzung der Lie-Nilpotenzklasse [1, 2, 5, 10] bzw. der Lie-Auflösbarkeitsstufe [4, 11] von FG. Uns interessiert nun eine weitere Eigenschaft, welche schräg zwischen Lie-Auflösbarkeit der Stufen 2 und 3 liegt, und an Lie-Nilpotenz erinnert, aber nicht impliziert. Definition: Man nennt eine Algebra Lie-zentral-metabelsch, (engl. Lie centre-by-metabelian oder Lie centrally metabelian), wenn sie modulo ihrem Zentrum Lie-metabelsch (d.h. Lie-auflösbar der Stufe höchstens 2) ist. (Analog definiert man zentral-metabelsche Gruppen.)

Für p>3 existieren nach Sharma-Srivastava [12] keine nichtkommutativen Lie-zentral-metabelschen Gruppenalgebren. Der Fall p=3 ist daher interessanter, und ist kurioserweise gleich zweimal (Külshammer und Sharma [3], unabhängig davon: Sahai und Srivastava [7]) im Journal of Algebra veröffentlicht worden. Ergebnis: FG ist genau dann Lie-zentral-metabelsch, wenn für die Kommutatoruntergruppe G' gilt: |G'| in {1,3}. Es gibt also Beispiele, welche nicht kommutativ --sogar nicht einmal Lie-metabelsch oder Lie-nilpotent-- sind.

Die vorliegende Arbeit gibt nun die vollständige Beschreibung des (wie so oft) hartnäckigsten, bisher noch ausstehenden Falles p=2:

Satz: Es seien F ein Körper der Charakteristik p=2 und G eine Gruppe. Genau dann ist die Gruppenalgebra FG Lie-zentral-metabelsch, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:
(i) |G'| in {1,2,4}.
(ii) G ist nilpotent der Klasse 2, und G' = Z2 × Z2 × Z2.
(iii) G operiert durch Invertieren der Elemente auf G' = Z2 × Z4, und CG(G')' ist in Phi(G') enthalten.
(iv) G enthält eine abelsche Untergruppe vom Index 2.

Man beachte, daß nur metabelsche Gruppen G in Frage kommen.

3. Man kann nun auch umgekehrt vorgehen, und zu jeder F-Algebra A die Gruppe U(A) ihrer Einheiten (invertierbaren Elemente) konstruieren. Offenbar ist G in U(FG) enthalten; i.a. ist U(FG) aber wesentlich größer und komplizierter strukturiert als G.

Für die Kommutatoreigenschaften von U(FG) gilt: Ist FG metabelsch, so auch U(FG) [12]. Entsprechendes gilt für die Nilpotenz [2], und im Fall p ungerade auch für die Auflösbarkeit [9]. Sharma und Srivastava stellten daraufhin in [12] die Frage, ob Lie-zentral-metabelsche Algebren stets zentral-metabelsche Einheitengruppen haben. Für FG ist dies klar im Fall p>3. Der Fall p=3 hat nach Külshammer-Sharma [3] ebenfalls eine positive Antwort.

Die vorliegende Arbeit behandelt wieder den Fall p=2:

Satz: Wir übernehmen die Bezeichnungen des vorhergehenden Satzes. Dann gilt:
Sind (i) oder (ii) erfüllt, so ist U(FG) zentral-metabelsch.
Ist (iii) erfüllt, so ist U(FG) zwar stets auflösbar der Stufe höchstens 3, aber nicht notwendig zentral-metabelsch.
Es gibt Gruppen G, die (iv) erfüllen, so daß U(FG) nicht auflösbar ist.

Der Beweis wird natürlich durch Anwendung des zuvor genannten Klassifikationssatzes geführt. Die Antwort ist hier also insgesamt negativ, für Teil (iv) sogar besonders schlimm negativ - ein weiteres Indiz für die Launen der Charakteristik p=2.

4. Sozusagen als Nebenprodukt der Dissertation sind zwei Programmsammlungen für das Computeralgebrasystem GAP - Groups, Algorithms, and Programming [8] enstanden: eine kleinere, welche dem Autor lediglich einige rein mechanische, aber langwierige Rechnungen mit gewissen Gruppenoperationen im Beweis des Klassifikationssatzes abnahm, und ein ausgefeilteres und umfangreicheres Paket mit dem Namen LAG - Lie Algebras of Group Algebras, welches zwar in keinem Beweis verwendet wird, aber beim Experimentieren mit zahllosen Beispielen sehr nützlich war. Da die Programmierung sehr allgemein gehalten ist, kommt es wohl auch zur Untersuchung andersartiger Probleme in Betracht; dabei kann man mit Gruppenalgebren ebenso einfach umgehen wie man es in GAP mit Gruppen gewohnt ist. Beide Dateien sind unter http://www.mathematik.uni-jena.de/algebra/ erhältlich.

Literatur
  1. A.K. Bhandari and I.B.S. Passi, Lie nilpotency indices of group algebras, Bull. London Math. Soc. 24 (1992), 68-70
  2. N. Gupta and F. Levin, On the Lie ideals of a ring, J. Algebra 81 (1983), 225-231
  3. B. Külshammer and R.K. Sharma, Lie centrally metabelian group rings in characteristic 3, J. Algebra 180 (1996), 111-120
  4. F. Levin and G. Rosenberger, Lie metabelian group rings, in: Proceedings of the international conference on group and semigroup rings at the University of Witwatersrand 1985, Mathematics studies 126, 153-161, North-Holland, Amsterdam 1986
  5. F. Levin and S. Sehgal, On Lie nilpotent group rings, J. Pure Appl. Algebra 37 (1985), 33-39
  6. I.B.S. Passi, D.S. Passman, and S.K. Sehgal, Lie solvable group rings, Canad. J. Math. 25 (1973), 748-757
  7. M. Sahai and J.B. Srivastava, A note on Lie centrally metabelian group algebras, J. Algebra 187 (1997), 7-15
  8. M. Schönert et.al., GAP - Groups, algorithms, and programming, fifth edition, version 3, release 4, Lehrstuhl D für Mathematik, Rheinisch-Westfälische Technische Hochschule, Aachen 1995
  9. S.K. Sehgal, Topics in group rings, Marcel Dekker, New York 1978
  10. A. Shalev, Lie dimension subgroups, Lie nilpotency indices, and the exponent of the group of normalized units, J. London Math. Soc. 43 (1991), 23-36
  11. A. Shalev, The derived length of Lie soluble group rings, I, J. Pure Appl. Algebra 78 (1992), 291-300; II, J. London Math. Soc. 49 (1994), 93-99
  12. R.K. Sharma and J.B. Srivastava, Lie centrally metabelian group rings, J. Algebra 151 (1992), 476-486